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1.解：由勾股定理分别求得AB,BC,CD,的长为5cm，13cm，10cm，所以折线的长为5+13+10=28（cm）.
2.解：（1）因为8²+15²=17²，所以8,15,17能作为直角三角形的三边长，.
（2）因为7²+12²≠15²，所以7,12,15不能作为直角三角形的三边长.
（3）因为12²+15²≠〖20〗^2，所以12,15,20不能作为直角三角形的三边长.
（4）因为7²+24²=25²，所以7,24,25能作为直角三角形的三边长.
3.解：如图1-4-11所示，设帆船的始点为A先向东方向航行了160km到点B，再向正北方向航行了120km到点C.
在Rt△ABC中，∠B=90°，AB=160，BC=120，由勾股定理，得AC²=BC²+A=120²+160²=200²，所以AC200.因此，这艘船此时离出发点200km.
4.解：在Rt△ABC中，∠B=90°，所以AC²=AB²+BC²=4²+3²=25，所以AC=5（cm）.在Rt△FAC中，∠FAC=90°，所以FC²=FA²+AC²=12²+5²=169.所以S_正方形CDEF=FC²=169（cm^2 ）.
5.解：如图1-4-12所以，设小明家位于点C，先向正北方向走了150m到点A，再向正东方向走了250m到点B，在Rt△ABC中，∠A=90°，由勾股定理，得AB²=BC²-AC²=250²-150²=40 000（m²）.
所以AB=200m.故小明向正东方向走了200m远.
6.解：一两直角边为直径的两个半圆面积之和等于以斜边为直径的半圆的面积.
7.解：两图的面积相等，前者由4个全等的直角三角形和边长为C的正方形组成，后者由4个全等直角三角形和边长分别为a，b的两个正方形组成，因此边长分别为a，b的两个正方形组成，因此边长为c的正方形的面积等于边长为a，b的两个正方形的面积之和，即c²=a²+b².
8.解这样做实际上得到了一个边长分别为3,4,5的三角形，因为3²+4²=5²，所以由直角三角形的判别条件可知该三角形是直角三角形.
9.解：（1）面积为53个平方单位，可以构造一个直角三角形，斜边为AB，直角边长分别为2个单位和7个单位.由勾股定理，得AB²=2²+7²=53，即正方形的面积.
（2）可利用5=2²+1²,10=3²+1²,13=2²+3²构造正方形（图略）.
10.解：（1）如图1-4-13所示.
（2）所有正方形的面积和为4cm².
（3）如果一直画下去，可以想象出是一幅丰富多彩的图形，如果取出图形的任意部分放大后与原图形形状相同.
（4）若原直角三角形是等腰直角三角形，则这个图形是轴对称图形.
11.解：（1）设梯子的顶端距底面xm（x>0），根据勾股定理，得x²+7²=25²，解得x=24，所以梯子的顶端距地面24m.
（2）不是，设梯子底部在水平方向滑动ym（y>0），此时梯子顶端距地面24-4=20（m）.由勾股定理，得20²+（7+y）²=25²，解得y=8.所以梯子底部在水平方向滑动了8m，而不是4m.
12.解：将长方体展成平面图形，因为两点之间线段最短，所以所求的爬行距离就是线段AB的长度，线段AB的长度有3种可能，示意图如图1-4-14①②③所示，在图1-4-14①中，由勾股定理，得AB²=20²+15²=625=25²，所以AB=25；在图1-4-14②中，由勾股定理，得AB²=25²+10²=725;在图1-4-14③中，由勾股定理，得AB²=30²+5²=925.因为925>725>625，所以图1-4-14①中线段AB的长度最短，为25，即蚂蚁需要爬行的最短路程为25.
※13.解：如图1-4-15所以，由勾股定理，可得BC²=AC²+AB²=1.5²+1.5²=4.5.又由勾股定理，得CD²=BC²+DB²=4.5+2.2²=9.34，所以CD的长度大约是3m多一点（小于3.1m）.
因此能放入电梯内的木条的最大长度大约是3m多一点（小于3.1m）；估计装修工人买的木条至少是3.1m.
※14.解：（1）勾股数中一定有一个是偶数.理由：如果全部是奇数，那么a²+b²为偶数，而c²为奇数，两者不可能相等.
（2）规律：若a，b，c为一组勾股数，则ma，mb，mc也是一组勾股数，其中m为正整数，例如，3,4,5为一组勾股数，那么6,8,10是一组勾股数，9，12,15也是一组勾股数.
