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1(1)√(2)X(3)√
解析:(1)两条线段的比等于它们的长度之比,故正确;
(2)由图上距离:实际距离=1:5 000,可解得实际距离为350m,故错误;
(3)∵AC>BC,C是AB的黄金分割点,∴AC= (√5-1)/2AB.
∵AB=√5 cm,∴AC= (5-√5)/2 cm,故正确.
2.解:(1)由a,b,c,d成比例,可得a/b=c/d,a/3=2/6 解得a=1.
(2)∵a/6=b/5=c/4≠0,
∴(a+b-2c)/(6+5-8)=a/6.
∵a+b-2c=3,∴3/3=a/6,∴a=6.
3.解:∴a//b//c,∴AC/CE=BD/DF.
∵AC=4,CE=6,BD=3,∴4/6=3/DF,
解得DF=4.5,∴BF=BD+DF=3+4.5=7.5.
4.解:3对△ABC∽△ADE,△ABC∽△AFG,△ADE∽△AFG.
理由:两角分别相等的两个三角形相似.
5.解:(1)∵△ADE∽△ABC,
∴∠ADE=∠B=50°.
(2)∵∠A=70°,∠B=50°,
∴∠=180°-∠A-∠B=180°-70°-50°=60° .
(3)∵AD=2a cm,DB=a cm,
∴AB=AD+DB=3a cm.
∵△ADE∽△ABC,
∴AD/AB=DE/BC,2a/3a=DE/b,
∴DF=2/3b,∴DE的长为2/3 b cm.
点拔:相似三角形的各角对应相等,各边对应成比例.
6.2:3 解析:相似多边形的面积比等于相似比的平方.
7.解:因为DE//BC,
所以∠ADE=∠B.
又∠A=∠A,所以△ADE∽△ABC.
又因为AD=3BD,所以AD/AB=3/4.
所以(S△ADE)/(S△ABC)=(AD/AB)²,
即(S△ADE)/48=(3/4)².
所以S△ADE=27.
8.解:OA∙OD=OC∙OB.
理由:因为AC//BD,所以∠A=∠B,∠C=∠D,所以△AOC∽△BOD.
所以OA/OB=OC/OD.
所以OA∙OD=OC∙OB.
9.解:∠1=∠4,∠2=∠3.
理由:因为AD=31,DB=29,AE=30,
EC=32,所以AC=AE+EC=30+32=62,AB=AD+DB=31+29=60.
因为AD/AC=31/62=1/2,AE/AB=30/60=1/2,所以AD/AC=AE/AB,∠A=∠A,得△ADE∽△ACB,∴∠1=∠4,∠2=∠3.
10解:设较小三角形地块的面积为S m²,则较大三角形相似,得S/(S+30)=(2/3)².解得S=24.
所以面积之和为S+(S+30)=24+(24+30)=78(m²).
11.解:因为△ACP∽△PDB,
所以∠APC=∠B.
所以∠APB=∠APC+60°+∠DPB=60°+∠B+∠DPB=60°+∠PDC=60°+60°=120°.
12.解:因为矩形 OA′B′C′的面积等于矩形OABC面积的1/4,所以矩形OA^" B^" C^" 与矩形OABC的相似比为1:2,所以矩形OABC各顶点的横坐标,纵坐标分别乘 1/2(或-1/2),即可得到矩形OA′B′C′各顶点的横坐标和纵坐标,所以点B′的坐标为(3,2)或(-3,-2).
13.解:如图4-9-22所示,
过点O作OG//AB,交BC于点G,则OG/AB=CG/BC=OC/AC=1/2.
∵AB=a,BC=b,
∴OG=1/2 a,CG= 1/2 b,∴GF=CG-CF= 1/2 b-CF.由OG//AB//CE,得△OGF∽△ECF,∴OC/EC=GF/CF.
即(1/2 a)/c=(1/2 b-CF)/CF,解得CF=bc/(a+2c).
14.解:设所得四边形为四边形OA′B′C′,O,A,B,C的对应点分别是O,A′,B′,C,则O(0,0),A′(-4,-8),B′(4,-10),C′(8,0);这两个四边形的位似中心是原点O,所的四边形与原四边形的相似比是2.(描点画图如图4-9-23所示)
15.解:三角形相似,正方形相似,长方形相似.
16.解法1:作EG//AB,交DF于点G,沿EG将△DEG截去即可.
解法2:在EF上任取一点P,过点P作PQ//AB,角DF于点Q,沿PQ将图(2)解开,△QPF与△ABC相似.
17.解:∵四边形ABCD和四边形ACED都是平行四边形,
∴AD=CE,AD=BC,∴BC=CE.
∵PC//RE,∴△BPC∽BRE,
∴PC/RE=BC/BE=BP/BR=1/2.
又∵DR=RE,∴PC/DR=1/2.
∵△PCQ∽△RDQ,
∴PQ/QR=PC/RD=1/2.
设PQ=x,则QR=2x,
∴BP=PR=3x,
∴BP:PQ:QP=3x:x:2x=3:1:2.
18.(1)证明:∵△ABC,△DCE,△FEG是三个全等的等腰三角形,∴FG=FE=AB=√3,EG=CE=BC=1,∴BG=3.
∵EG/FG=1/√3=√3/3,FG/BG=√3/3,∴EG/FG=FG/BG.
又∠G=∠G,∴△BFG∽△FEG.
(2)解:∵∠BCA=∠BGF,∴PC//FG,∴PC/FG=BC/BG,即PC/√3=1/3,
解得PC=√3/3,
∴AP=AC-PC=√3-√3/3=(2√3)/3,
∴AP:PC=(2√3)/3:√3/3=2:1.
19.解:如图4-9-24所示,矩形OB_1 C_1 D_1 和矩形OB_2 C_2 D_2就是求作的矩形.所画矩形和原矩形可在原点同则,也可在原点异侧.
20.解:∵MH⊥BD,AB⊥BD,
∴∠MHD=∠ABD.
又∵∠MDH=∠ADB.
∴△MHD∽△ABD,∴MH/AB=HD/BD.
同理可得MH/CD=BH/BD,
∴MH/AB+MH/CD=HD/BD+BH/BD,
即MH/10+MH/15=1,解得MH=6.
∴点M离底面的高度MH为6m.
21.解:(甲)如图4-9-25所示,过点B作BH⊥AC,垂足为H,交DE于点M,∵DE//AC,∴BM⊥DE,
∴∠BDE=∠BCA.
∵∠DBE=∠CBA,∴△BDE∽△BCA.
∵S△ABC=1/2 AB∙BC,AB=1.5m,
S△ABC=1.5m²,∴1.5=1/2×1.5×BC,∴BC=2,∴AC=√(AB²+BC²)=√(1.5²+2²)=2.5(m).
∵1/2 AC∙BH=1.5,AC=2.5,
∴BH=1.2.
∵DE/CA=BM/BH,∴DE/2.5=(1.2-DE)/1.2,
解得DE=30/37,即甲木匠加工的正方形的边长为 30/37 m.
(乙)如图4-9-26所示,
由题意,得DE/AB=CD/CB,
∴DE/1.5=(2-DE)/2,
解得DE=6/7,即乙木匠加工的正方形的边长为 6/7 m.
∴30/37 m<6/7 m∴乙木匠的方法符合要求.
22.解:(1)当PD/AB=CD/BP 时,设BP=x,则PD=BD-BP=14-x,
所以(14-x)/6=4/x,解得x_1=2,x_2=12.
(2)当CD/AB=PD/PB 时,设BP=Y,则PD=BD-BP=14-Y,
所以4/6=(14-y)/y,解得y=8.4.在此处键入公式。
综上所述,BP的长为2或12或8.4.
23.(1)证明:∵△ABC∽△A_1 B_1 C_1且相似比为k(k>1),∴a/a_1 =k,a=ka_1.
又∵c=a_1,∴a=kc.
(2)解:取a=8,b=6,c=4,同时取a_1=4,b_1=3,c_1=2,此时a/a_1 =b/b_1 =c/c_1 =2,
∴△ABC∽△A_1 B_1 C_1,且c=c_1.
(3)解:不存在△ABC和△A_1 B_1 C_1 使得k=2.
理由如下:若k=2,则a=2a_1,b=2b_1,c=2c_1,又∵b=a_1,c=b_1,∴a=2b_1=2b=4b_1=4c,
∴b=2c,∴b+c=2c+c<4c.
∵4c=a,即b+c